Matek zsenik help-et pls:)

[Redback]

Kiválasztottunk 21 szomszédos természetes számot és összeadtuk őket, de egyet kifelejtettünk az összeadásból, így az összeg 1999 lett. Melyik számot felejtettük ki?

Próbáltam kétismeretlenes egyenletrendszert összehozni, de csak egy egyenletet sikerült felírnom:
(n-10)+(n-9)....+(n-1)+n+(n+1)....+(n+9)+(n+10)=1999+x.

Tippelgetésből kijött, hogy a sorozat 90...110, és a "kifelejtett" szám a 101, de levezetni még így sem tudom. Valaki esetleg?

megj: Középsuli 2. osztály

[Valezius]

Mivel a megoldás csak egész szám lehet, így az egyetlen egyenletből nem tud kihullani az egyetlen jó megoldás. Így szükséges a "próbálgatás".
Tehát 21n=1999+x
n legalább 96 kell legyen, és akkor egyesével meg kell nézni
Hogy a kapott x az vajon benne van-e az n-10,n+10 intervallumban.
Ez csak egyszer fordul elő, ha n=100, x=101.

Illetve azt már nem nehéz belátni, hogy n>100-ra biztos, hogy nem lesz megoldás.

[Redback]

Originally Posted by Valezius

Mivel a megoldás csak egész szám lehet, így az egyetlen egyenletből nem tud kihullani az egyetlen jó megoldás. Így szükséges a "próbálgatás".
Tehát 21n=1999+x
n legalább 96 kell legyen, és akkor egyesével meg kell nézni
Hogy a kapott x az vajon benne van-e az n-10,n+10 intervallumban.
Ez csak egyszer fordul elő, ha n=100, x=101.

Illetve azt már nem nehéz belátni, hogy n>100-ra biztos, hogy nem lesz megoldás.

én is próbálgatás után jöttem rá. Az kijött, hogy n>95, mert valami olyasmi jött ki n-re, hogy n=95,19+x/21 :/ De akkor azt hiszem, jól oldottam meg

[Padlócsempe]

Originally Posted by Redback

Kiválasztottunk 21 szomszédos természetes számot és összeadtuk őket, de egyet kifelejtettünk az összeadásból, így az összeg 1999 lett. Melyik számot felejtettük ki?

Próbáltam kétismeretlenes egyenletrendszert összehozni, de csak egy egyenletet sikerült felírnom:
(n-10)+(n-9)....+(n-1)+n+(n+1)....+(n+9)+(n+10)=1999+x.

Tippelgetésből kijött, hogy a sorozat 90...110, és a "kifelejtett" szám a 101, de levezetni még így sem tudom. Valaki esetleg?

megj: Középsuli 2. osztály

Én így csinálnám:

n + (n+1) + (n+2) ... + (n+20) = 1999 + n + x / -(n+210)

20n = 1789 + x

a legkisebb x, amit az 1789-hez adva 20-al osztható számot kapunk az 11. A következő 31 lenne, de mivel 0 =< x =< 20, így csak az x=11 a megoldás, és ebből következően n = 90.

[Redback]

Originally Posted by Padlócsempe

Én így csinálnám:

n + (n+1) + (n+2) ... + (n+20) = 1999 + n + x / -(n+210)

20n = 1789 + x

a legkisebb x, amit az 1789-hez adva 20-al osztható számot kapunk az 11. A következő 31 lenne, de mivel 0 =< x =< 20, így csak az x=11 a megoldás, és ebből következően n = 90.

Egész jó. Így is próbáltam, de a másik jobban tetszett.

[Valezius]

A két módszer ötvözhető:

21n=1999+n+y
y -10 és +10között kell legyen.

[Redback]

Az osztály fórumán egy csaj az alábbi feladatot vetette fel:

Egy börtönben 365 cella van, minden cellában egy rab. A cellák zárai egy fordításra kinyílnak, még egy fordításra záródnak. A börtönből meglehet szökni, de eddig minden szökevényt elkaptak és megkétszerezték a büntetésüket, tehát a rabok nem kockáztatnak. Minden rabot egy évnél hosszabb időre ítéltek. A börtönt egy őr őrzi, aki az alábbi játékot találta ki - és osztotta meg a rabokkal: minden nap végigmegy a cellákon és elfordítja a zárakat, de nem akárhogy. Az első nap minden zárat elfordít, a második nap minden másodikat, a harmadik nap minden harmadikat és így tovább 365 napon keresztül. Akinek a végén nyitva lesz a cellája, szabadon távozhat. Hány rab szabadult ki, mire végzett a börtönőr?

Fejtörés, számolgatás után arra jutottam: annak lesz nyitva év végén a cellája, akinek a cellájának a sorszámának páratlan számú osztója van. Csak a négyzetszámoknak van páratlan számú osztója, tehát gyök(365) lefele kerekítve. Annyi rab fog megszökni. Erre ő bevágja, hogy bizony nem mernek megszökni, ami ott van a szövegben:

A börtönből meglehet szökni, de eddig minden szökevényt elkaptak és megkétszerezték a büntetésüket, tehát a rabok nem kockáztatnak.

De szerintem nem így van:

Akinek a végén nyitva lesz a cellája, szabadon távozhat.

Szerintetek?

[Valezius]

Ha ez matekfeladat, akkor igazad van. A szöveg első fele arra kell, hogy akinek első nap nyitva van a cellája ne menjen el.

De ha ez csak játék a szavakkal, akkor nem igazán érdekel.

[Redback]

Originally Posted by Valezius

Ha ez matekfeladat, akkor igazad van. A szöveg első fele arra kell, hogy akinek első nap nyitva van a cellája ne menjen el.

De ha ez csak játék a szavakkal, akkor nem igazán érdekel.

Olyan topicban volt feldobva, ami a matekról szól, azért gondoltam "komolynak".

[Xeper]

Originally Posted by Redback

Az osztály fórumán egy csaj az alábbi feladatot vetette fel:

Egy börtönben 365 cella van, minden cellában egy rab. A cellák zárai egy fordításra kinyílnak, még egy fordításra záródnak. A börtönből meglehet szökni, de eddig minden szökevényt elkaptak és megkétszerezték a büntetésüket, tehát a rabok nem kockáztatnak. Minden rabot egy évnél hosszabb időre ítéltek. A börtönt egy őr őrzi, aki az alábbi játékot találta ki - és osztotta meg a rabokkal: minden nap végigmegy a cellákon és elfordítja a zárakat, de nem akárhogy. Az első nap minden zárat elfordít, a második nap minden másodikat, a harmadik nap minden harmadikat és így tovább 365 napon keresztül. Akinek a végén nyitva lesz a cellája, szabadon távozhat. Hány rab szabadult ki, mire végzett a börtönőr?

Fejtörés, számolgatás után arra jutottam: annak lesz nyitva év végén a cellája, akinek a cellájának a sorszámának páratlan számú osztója van. Csak a négyzetszámoknak van páratlan számú osztója, tehát gyök(365) lefele kerekítve. Annyi rab fog megszökni. Erre ő bevágja, hogy bizony nem mernek megszökni, ami ott van a szövegben:


De szerintem nem így van:



Szerintetek?

Szerintem neked volt igazad, egyértelműen azért volt benne a 'nem kockáztatnak' rész, hogy év közben ne mászkáljanak folyton ki a nyitott ajtajú cellákból. A végén ott is van, hogy szabadon távozhat... tehát nem lesz szökevény, és csak a szökevényeket kapják el.

És a megoldásod is helyes, a 19 négyzetszám lesz a nyertes cella