Quote:
Originally Posted by Redback
6. Igazolja, hogy ha valamely háromszög területe 1/2 területegység, akkor kerülete 3 hosszúságegységnél nagyobb!
|
a*m=1
Egyrészt igaz, hogy a+b+c>2*a másrészt a+b+c>a+2*m
Ebből az jön, hogy csak az az eset érdekes, amikor a 1 és 1,5 közötti.
(A második egyenlőtlenségből számtani-mértani középpel 2*gyök(2) alsó korlátot kapunk, amin úgy tűnik már nem kell sokat javítani.)
Igazából ez a rész nem is fog majd kelleni.
Vegyük fel az a hosszúságú szakaszt, 1/a távolságra húzzunk párhuzamost. A 3. csúcs ezen az egyenesen lesz. Ráadásul a minimális kerületet biztos, hogy nem konkáv háromszög veszi fel.
Azt kéne valahogy belátni, hogy az egyenlőszárú háromszög kerülete a minimális, ha az a oldal és a magasság adott.
Egyelőre ez úgy sikerült, hogy ha a két oldal vetülete a-ra x és a-x, akkor b+c=gyök(x^2+1/(4*a^2)+gyök[(x-a)^2+1/(4*a^2))
Megsejtjük, hogy a/2-nél szélsőérték van, megnézzük a deriváltat a/2-nél jé éppen 0. Most még az is kéne, hogy a szélsőérték minimum, mondjuk meg lehet nézni a második deriváltat.
Ezután már csak azt kell megmutatni, hogy K=a+2*gyök(a^2/4+1/a^2)>3 számtani-mértani középpel kijön.
nem szépségdíjas, de szerintem megadnák rá a pontot.